Об оценке объёма льда горных ледников

© 2013 г. Ю.Я. Мачерет, С.С. Кутузов, В.В. Мацковский, И.И. Лаврентьев
Институт географии РАН, Москва
s.kutuzov@gmail.com
Методы, определение объёма ледника, оценка запасов льда.
Glacier volume estimation, ice storage assessment, methods.
Имеющиеся данные по измерению толщины и объёма горных ледников, а также существующие расчётные методы не позволяют достаточно точно установить запасы льда в горно-ледниковых системах. Обсуждаются существующие методы определения объёма горных ледников и запасов льда в горно-ледниковых системах, а также способы их более точной оценки на основе ограниченных данных о толщине и объёме отдельных ледников. Оценивается ошибка определения объёма отдельных ледников при ограниченном числе измерений.
 
Введение
С научной и практической точек зрения важно знать количество и изменения во времени запасов воды в горных ледниках, поскольку сокращение их площади и объёма вызывает в настоящее время дополнительное повышение уровня Мирового океана на 0,41±0,08 мм/год [28]. Кроме того, горные ледники служат важным ресурсом пресной воды, используемой для орошения, хозяйственных и производственных нужд, а также выработки электроэнергии. Площадь ледников в районах современного горного оледенения известна по данным каталогизации и инвентаризации, основанным на анализе топографических карт, аэрофото- и космоснимков разных лет. Так, в Мировом каталоге ледников [39] содержится информация о более чем 130 тыс. ледниках по состоянию на вторую половину XX в. В этот каталог ледников вошли в том числе и данные для территории бывшего СССР, опубликованные в 20 томах Каталога ледников СССР (1967–1982 гг.). Согласно другим данным, в районах горного оледенения, включая ледники вокруг ледниковых покровов Гренландии и Антарктиды, насчитывается около 160 тыc. ледников [19], которые занимают площадь около 785±100 тыс. км2 и содержат около 260±65 тыс. км3 льда [23]. На территории бывшего СССР в районах горного оледенения насчитывается около 23 тыс. ледников (Каталог ледников СССР) суммарной площадью 23 750 км2 с общими оценёнными запасами льда 2000 км3 [6]. В последние годы ведётся инвентаризация ледников в районах горного оледенения по программе GLIMS на основе космических снимков ASTER со спутника TERRA (www.glims.org), что позволяет оценить современное состояние горного оледенения Земли и его изменения за последние десятилетия или даже столетия.
Вместе с тем сведения о толщине ледников, необходимые для определения их объёма, более ограничены: они есть только для менее чем 0,3 % общего числа горных ледников [11]. Большинство этих данных получено вдоль отдельных профилей или даже в отдельных точках; достоверные цифры о толщине ледников, пригодные для определения их объёма, ещё более ограничены. В 1950–1960 гг. основным и наиболее точным способом их получения были сейсмические методы отражённых и преломлённых волн [10], позднее − радиолокационные методы, обеспечивающие высокую (2–3%) точность измерения толщины льда с наземного и воздушного транспорта или в пеших маршрутах [11]. В этой статье мы обсудим существующие методы определения объёма горных ледников и запасов льда в горно-ледниковых системах и пути их более точной оценки на основе ограниченных данных о толщине и объёме отдельных ледников.
 
Методы определения объёма горных ледников
Наиболее точно объём ледника определяется по карте толщины льда, построенной на основе данных площадной радиолокационной съёмки по густой сети точек или профилей измерений с последующим вычислением объёма с помощью современных ГИС-технологий. Если данных для построения карты толщины льда недостаточно, то для оценки объёма ледника используют приближенные методы. Они применяются, когда толщина льда измерена только вдоль одного профиля, например вдоль осевой линии ледника [3], или в ограниченном числе точек [25]. Особую группу составляют балансово-динамические методы оценки объёма ледников [19, 24, 30, 33–35], которые требуют знания баланса массы, границ и высотыповерхности ледников, а также применения моделей, описывающих их течение и изменение площади или длины. В данной статье эти методы не рассматриваются.
Карты толщины льда по данным площадной съёмки. На горных ледниках площадные съёмки выполняют по системе профилей, покрывающих всю или только доступную для измерений площадь ледника. Такие измерения позволяют составить карту толщины льда и по ней определить объём всего или только исследованной части ледника на момент измерений. При этом предполагают, что на краях ледника толщина льда равна нулю, поэтому необходимо как можно точнее знать границы ледника. Этот способ наиболее точен, однако с его помощью в разных районах горного оледенения к настоящему времени определён объём только 235 ледников. Большой массив данных получен в Альпах: на территории Австрии, Швейцарии и Италии в общей сложности получены материалы по 104 ледникам [26, 28].
Наибольший объём площадных съёмок толщины льда выполнен на ледниках Алтая – в Северо-, Южно-Чуйском и Катынском хребтах. Здесь в 2003 г. насчитывалось 730 ледников общей площадью 632,9 км2 [15]. В 1988–2001 гг. здесь были получены данные о толщине льда для 131 ледника, причём для 121 из них (16,4% общего числа) были построены карты толщины льда в масштабах 1:25 000 и 1:50 000, а также определены их объём и площадь [15–17]. Этот массив данных в настоящее время – самый большой для горно-ледниковых районов мира и содержит ледники разных морфологических типов: долинные – 47, каровые – 27, карово-долиннные – 37, карово-висячие – 3, плоских вершин – 3, котловинные – 2, сложно-долинные – 1. Площадь их –самая разная: от 0,3 до 11,2 км2 (рис. 1). Общая площадь этих ледников – 269,75 км2, общий объём – 15,33 км3, средняя толщина – 56,8 м. Для дальнейшего анализа мы объединили ледники в 3 группы по морфологическому признаку. Группа карово-долинных ледников включает карово-долинные и карово-висячие ледники, поскольку они имеют схожие черты подлёдного рельефа. В группу долинных ледников включены собственно долинные и сложно-долинные ледники. К третьей группе отнесены ледники плоских вершин и котловинные, так как они представлены всего пятью ледниками.
Этот массив данных по Алтаю использован нами, чтобы оценить, как ошибка определения суммарного объёма включенного в него 121 ледника зависит от морфологического типа, площади и числа ледников в соответствующей выборке.
 
Рис. 1. Объём и площадь 121 ледника Алтая по данным наземных радиолокационных исследований 1988–2001 гг. [15–17]
 
Измерения по одному продольному профилю. При аэрорадиозондировании толщину льда чаще всего измеряют вдоль одного продольного профиля, а для определения объёма ледника используют приближённые методы [3, 5, 18]. В одном из них [3] исходными данными служат высота поверхности, измеренная толщина льда вдоль продольного профиля, а также высота и нулевая толщина льда на краях ледника (метод трёх точек – МТТ). Объём ледника V вычисляется как произведение площади отдельных поперечных сечений ледника Fiна расстояние diмежду этими сечениями:
V = SFidi,                                                                                                           (1)
Причём при определении площади поперечных сечений предполагается, что поверхность и толщина вдоль этих сечений имеют форму парабол или полуэллипсов, проходящих через три точки, одна из которых находится на продольном профиле, а две других – на краях ледника. В простейшем случае (поверхность ледника горизонтальная) этот параметр определяется соотношением
Fi = (2/3)hiwi,                                                                                                                                  (2)
где hi – толщина ледника в точках пересечения продольного профиля и поперечных сечений; wi–шириналедника вдоль поперечного сечения.
Если поверхность ледника горизонтальна и его поперечные сечения имеют форму полуэллипса, большая полуось которого aiравна половине ширины wi поперечного сечения ледника, а малая полуось bi – толщине ледника hi в точке пересечения продольного профиля и поперечного сечения, то площадь Fi поперечного сечения ледника определяется как
Fi = phiwi/4,                                                                             (3)
а объём ледника – по формуле, аналогичной формуле (1).
Из формул (2) и (3) следует, что по методу парабол площадь Fi поперечного сечения ледника в 0,84 раза меньше, чем по методу эллипсов. Тем не менее, поскольку большинство долинных ледников занимает троговые долины U-образной формы, предполагается [36, 37], что они имеют поперечное сечение параболической формы. Более точные оценки площади поперечного сечения ледников Fiметодами парабол и полуэллипсов будут рассмотрены далее. Они учитывают, во-первых, отличие высот на концах поперечных профилей и, во-вторых, выпуклую или вогнутую форму поверхности вдоль этих профилей (рис. 2).
 
Рис. 2. К расчёту площади сечения ледника путем аппроксимации его высоты поверхности и ложа параболами (ав) и эллипсами (г–е)
 
Метод парабол.
Не приводится из-за обилия формул. См. pdf файл.
 
 
Оценка объёма ледников вытянутой и изометрической формы. Применительно к ледникам вытянутой и изометрической форм, к которым ближе всего ледники долинного, карово-долинного и карового типов, для оценки точности этих двух методов нами использовались карты толщины ледников Марух (долинного типа) и Марушонок (карового типа) на Кавказе площадью 2,76 и 0,043 км2 соответственно, построенные по данным площадной радиолокационной съёмки, выполненной в августе 2011 г. [7]. Для ледника Марух положение произвольно выбранного продольного профиля с известной толщиной льда, расчётных поперечных профилей (рис. 3, а) и рассчитанных вдоль них по формулам (4)–(17) параболических сечений поверхности и ложа показаны на рис. 3, б, в;разность измеренных и вычисленных высот поверхности и толщины льда приведена на рис. 3, г–е. В данном случае продольный профиль выбран нами произвольно, чтобы имитировать измерение толщины льда с воздушного транспорта. Для ледника Марушонок аналогичные данные отражены на рис. 4.
 
а) б) в)
г) д)  
Рис. 3. Ледник Марух.
а – положение продольного профиля с измеренной высотой поверхности и толщиной льда и положение поперечных профилей, для которых методом парабол вычислены высоты поверхности (б) и ложа (в); разность измеренных высот поверхности (г) и толщин льда (д), вычисленных этим методом.
 
а) б) в)
г) д)  
Рис. 4. Ледник Марушонок.
а – положение продольного профиля с измеренной высотой поверхности и толщиной льда и поперечных профилей, для которых методом парабол получены высоты поверхности (б) и ложа (в); разность измеренных и вычисленных методом парабол высот поверхности (г) толщин льда (д)
 
В обоих случаях расчётные поперечные профили проходили перпендикулярно продольному профилю. На леднике Марух расстояние между поперечными профилями составляет около 23 м, на леднике Марушонок – около 14 м. Поскольку расчётные поперечные профили проходят под некоторыми углами к оси абсцисс, для упрощения расчётов положение поперечных сечений вдоль каждого из этих профилей вычислялись в новой прямоугольной системе координат, повёрнутой на соответствующий угол. Рассчитанные методом эллипсов по формулам (18)–(26) поперечные сечения поверхности и ложа ледников Марух и Марушонок очень похожи на рассчитанные методом парабол (см. рис. 3, б, в; см. рис. 4, б, в) и поэтому здесь не приводятся. Для вычисления объёма этих двух ледников сначала выполнялась аппроксимация ложа и поверхности методом парабол или эллипсов вдоль полученных продольных профилей. Затем эти значения интерполировались по всей площади ледника для получения значений высоты ложа и поверхности в узлах регулярной сетки с шагом 1 м. В итоге объём вычислялся интегрированием разностей высот поверхности и ложа по всей площади ледника с таким же шагом.
Из рис. 3, г, д следует, что наибольшие расхождения между измеренными и расчётными высотами поверхности и толщиной льда на леднике Марух достигают соответственно 30 и 180 м и соответствуют участкам в его прибортовых частях. На леднике Марушонок эти расхождения гораздо меньше и в прибортовых участках не превышают ±10 м. Вычисленные методами парабол и эллипсов объёмы ледников Марух и Марушонок приведены в табл. 1. Погрешность оценки объёма ледника Марух методом парабол и эллипсов равна соответственно 33 и 52%, ледника Марушонок − 8 и 35%. Оценка точности основана на данных всего по двум ледникам. Однако результаты согласуются с полученными ранее на примере ледников похожего типа Шпицбергена, Полярного Урала и Джунгарского Алатау [3, 18]. Учитывая сказанное, мы полагаем, что для оценки объёма ледников долинного и карового типа, имеющих вытянутую и изометрическую формы, для которых есть карты высоты поверхности и определены их границы и площадь, можно использовать данные радиозондирования по отдельным продольным профилям. При этом метод парабол обеспечивает приемлемую погрешность вычисления объёма ледников вытянутой и изометрической форм: для ледников Марух и Марушонок она равна соответственно 33 и 8%. Предыдущий опыт применения методов расчёта средней толщины льда и объёма отдельных ледников показал, что погрешность составляет в среднем ±20–30% [34].
 
 
Таблица 1. Объём ледников Марух и Марушонок, вычисленный методами парабол, эллипсов и Topo to Raster.
Ледник
Измеренный объем
Vизм, км3
Вычисленный объем, Vвыч, км3
Vизм/Vвыч
Метод парабол
Метод эллипсов
Topo to Raster
Метод парабол
Метод эллипсов
Topo to Raster
Марух
0,273
0,3633
0,4159
0,2728
1,3307
1,5233
0,9992
Марушонок
0,00051
0,00055
0,00067
0,000403
1,0784
1,3470
0,7902
                 
 
 
Нами вычислены также объёмы обоих ледников с использованием аппроксимации Topo to Raster ANUDEM [27] в программе ARCGIS, учитывающей гидрологическую корректность рельефа ложа – этот алгоритм «старается», по возможности, убрать все замкнутые котловины в рельефе дна долины, «чтобы дать воде возможность течь». Таким образом, в случае ледниковых долин, возможно, объёмы льда будут занижены, особенно если профилей измерений мало. Для ледника Марух ошибка измеренных и вычисленных этим способом объёмов льда составила менее 1%, а для ледника Марушонок – 21%. Следовательно, в рассмотренных случаях методы парабол и Topo to Raster дают лучшие оценки объёма, чем метод эллипсов. Но a priori предпочтение не может быть отдано ни одному из первых двух методов без дополнительных данных о форме подлёдной долины. Сравнительно большая ошибка оценки объёма ледника Марух методом парабол, вероятно, объясняются сложной топографией подлёдного ложа этого ледника и большой толщиной льда (до 330 м) в области питания при относительно небольшой ширине ледника (около 1 км). В таких случаях предпочтение может быть отдано методу Topo to Raster.
 
Оценка объёма льда в горно-ледниковых системах
Уже отмечалось, что данные по объёму горных ледников весьма ограничены, тогда как сведения об их площади есть во многих базах данных и каталогах. Поэтому для оценки объёма льда в горно-ледниковых V* системах было предложено несколько способов.
Формула Мазо – Глазырина. По этой формуле объём V* долинного ледника оценивается на основе динамической модели стационарного ледника со средней величиной баланса массы 50 г/см2 в области питания по формуле [9]
V* = 1,63Sho/(1 + Dz/ho)0,774,    ho = 0,073√L                                                                (27)
где S – площадь ледника, км2; L – длина ледника, км; Dz – разность высот между высшей и низшей точками открытой части ледника, км.
Сравнение объёмов ледников Джунгарского Алатау, рассчитанных по формуле (27) и методом эллипсов, показало возможность применения этого метода для ледников, площадью более 5 км2. В этом случае расхождение не превышало 20,6%, а среднеквадратическое отклонение составляет всего ±6,1% [13]. Причём лучшее совпадение получается, если в качестве высшей точки ледника принимать высоту бергшрунда, поскольку именно ниже него начинается движение ледника.
Формула САРНИГМИ. Другой способ предложен для оценки объёма Vg* группы из N ледников общей площадью Sg [8] (формула САРНИГМИ):
Vg* = с(Sg2/N).                                                                           (28)
где с = 0,04.
Степенная функция. В основу формулы (28) положена корреляционная связь между объёмом V(км3) и площадью S (км2) ледников вида
V = kSp                                                                                      (29)
с коэффициентами k = 0,027 и р = 1,5, выведенными из данных измерений толщины долинных ледников Каврайского и Красовского в Джунарском Алатау и ещё 28 ледников, для которых толщина льда была рассчитана методами Лагалли и балансов в предположении, что их поперечные профили имеют параболическую форму [2]. В результате дальнейших исследований установлено [4, 5, 12, 13], что величина коэффициентов k и р в формуле (29) зависит от многих факторов – морфологического типа ледников, их термического и динамического режимов (медленного или быстрого отступания или наступания), положения в горной стране – и в разных районах горного оледенения может изменяться в довольно широких пределах, поэтому и коэффициент с в формуле (28) также должен зависеть от этих факторов. Это подтвердилось при сравнении результатов оценок по формуле (29) с данными вычисления объёма ледников Шпицбергена методом парабол [4].
В Северо-Чуйском, Южно–Чуйском и Катынском хребтах Алтая общая площадь 121 ледника Sg = 269,75 км2, общий измеренный их объём Vg=15,33 км3, а вычисленный по формуле (28) объём Vg* =24,05 км3, т.е. в 1,57 раз больше, следовательно, коэффициент с формуле (28) должен быть равен не 0,04, а около 0,025. На 2003 г. для всех ледников этих районах   (N = 730) Sg =632,9 км2, Vg= 33,03 км3 [14] и, согласно формуле (28), Vg* =21,95 км3 – в 1,505 раз больше измеренного, т.е. коэффициент с в формуле (28) должен быть равен приблизительно 0,027. Заметим, что величина этого коэффициента изменилась очень мало по сравнению с предыдущей оценкой для общего числа ледников (N = 730). Этот пример показывает, что для оценки запасов льда в крупных горно-ледниковых системах целесообразнее использовать формулу (29), но с другими, более подходящими для данной горной области коэффициентами k и р.
Из формулы (29) следует, что средняя толщина ледников
Hср= kSp–1,                                                                                 (30)
а изменение объёма ледников DV в зависимости от изменения их площадиDS равно
DV = kSp-1DS.                                                                           (31)
Оценки показали, что для долинных ледников коэффициенты k и р в формуле (29) могут изменяться в широких пределах и во многих случаях заметно отличаться от р = 1,375, основанного на теоретических оценках [20]. Часто они могут отличаться от этого значения р на величину от –35% до +40% (от 0,95 до 2,00) [35] или на величину ±1,25 [38]. Похожий диапазон изменений коэффициента р показывают и данные по другим районам горного оледенения [22, 31]. Это относится и к коэффициенту k, который может изменяться от 0,016 до 0,048 [22]. В частности, для 63 ледников из разных районов горного оледенения (Альпы, Свальбард, Северная Америка) k = 0,0285, р = 1,357 (табл. 2).
 
Таблица 2. Связь между объёмом V и площадью S ледников Алтая в виде степенной функции V = kSp
Ледники
Число ледников N
k
p
Коэффициент детерминацииr2
Ледники Алтая
Каровые (1)
27
0,048
1,222
0,864
Карово-долинные (2)
41
0,049
1,048
0,917
Долинные  (3)
48
0,034
1,337
0,876
Плоских вершин и котловинные (4)
5
0,044
0,89
0,989
Все ледники Алтая (5)
121
0,037
1,304
0,905
Ледники других районов
Ледники Альп, Свальбарда, Каскадных гор с минимальной (6) и максимальной (7) величиной коэффициента р
63
0,0285
         + 0,037
1,357
        - 0,037
0,96
Ледники Альп с минимальной (8) и максимальной (9) величиной коэффициента р
16
0,0161
         + 0,092
1,520
          -0,092
0,95
 
Данные аэрорадиозондирования ледников Шпицбергена и Джунгарского Алатау вдоль их продольной оси показали [12, 13], что графики V = f(S) имеют две хорошо различимые ветви. Для ледников Шпицбергена одна из них соответствует долинным и сетчатым ледникам с отрицательными формами подледного рельефа, другая – ледниковым куполам с положительными формами подледного рельефа. Эти ветви характеризуются разными коэффициентами k и р: для одной k = 0,037, р = 1,357; для другой k = 0,041, р = 1,235. Для ледников Джунгарского Алатау обе ветви также соответствуют ледникам разных морфологических типов: одна – висячим, шлейфовым и долинным ледникам, расположенным в глубине горных хребтов (k = 0,0298, р = 1,379); другая – висячим долинным, карово-долинным, шлейфовым, каровым, асимметричным каровым и карово-висячим ледникам, расположенным в верховьях притоков крупных рек (k = 0,0298, р = 1,202). Для ледников Алтая на графике V = f(S) также видны четыре ветви с разными коэффициентами k и р (см. табл. 2), которые соответствуют каровым (ветвь 1) , карово-долинным (ветвь 2), долинным (ветвь 3) и всей совокупности ледников (ветвь 5) (рис. 5).
 
Рис. 5. Связь между объёмом V (км3) и площадью S (км2) ледников Алтая в виде степенной функции V = kSp.
Ветвь 1 соответствует 27 каровым ледникам; ветвь 2 – 41 карово-долинным ледникам; ветвь 3 – 48 долинным ледникам; ветвь 4 − 5 ледникам плоских вершин и котловинным; ветвь 5 − всем 121 измеренным ледникам Алтая; ветви 6 и 7 – 63 ледникам из разных районов горного оледенения (Альпы, Свальбард, Северная Америка) [22] с минимальной 6 и максимальной 7 величиной коэффициента р; ветви 8 и 9 − 16 ледникам Альп с минимальной 8 и максимальной 9 величиной коэффициента р [21, 22]. Обозначения ветвей и значения коэффициента р даны в табл. 2
 
Заметим, что в данном случае коэффициент детерминации рассчитывался методом наименьших квадратов, а не путём стандартной операции определения тренда экспоненциальной функции в программе Microsoft Excel. Это объясняется тем, что в последнем случае функция аппроксимируется в линейную путем логарифмирования, в результате чего в целом получают несколько отличные от первого метода значения коэффициентов k, р и r2. Для каровых и карово-долинных ледников (ветви 1 и 2) аппроксимирующая степенная функция (29) заметно отличается от таковой для всех исследованных ледников Алтая (ветвь 5), но ближе всего соответствует долинным ледникам (ветвь 3). Несмотря на меньший коэффициент детерминации r2, расчёты для ледников групп (1) и (2) дают меньшие различия между измеренным Vmeas и расчётным Vcalc суммарным объёмом ледников Алтая, чем для ледников из групп (3) и (4), и тем более меньшие различия, чем при использовании «глобальных» (для Альп, Свальбарда и Северной Америки) (группы 6, 7) и «региональных» (для Альп) (группы 8, 9) коэффициентов k и р из табл. 1 (табл. 3).
 
 
Таблица 3. Измеренные Vmeas и рассчитанные Vcalc объёмы ледников Алтая разных морфологических типов (для сравнения в последней строке дан расчет по корреляционной связи (29) со средними коэффициентами k и р для Альп из табл. 2).
Ледники Алтая
N
S, км2
Vmeas, км3
Vcalc, км3
DV, км3
DV,%
Каровые
27
19,44
0,916
0,924
0,008
0,87
 Карово–долинные
41
52,18
2,598
2,611
0,013
0,5
Долинные
48
187,17
11,373
11,23
0,143
–1,2
Плоских вершин и котловинные
5
10,95
0,439
0,437
0,002
–0,45
Все ледники
121
269,75
15,326
14,835
0,491
–3,2
Все ледники (по корреляционной связи для Альп)
121
269,75
15,326
9,075
6,251
–41
 
 
На основании табл. 2, 3 и рис. 5 можно полагать, что для горно-ледниковой системы с похожим распределением ледников по площади и морфологическим типам измерения на долинных ледниках позволят получить степенную зависимость объёма от площади, наиболее близкую к общей зависимости для всех ледников. Приведённые данные показывают целесообразность использования региональных коэффициентов k и р для оценки запасов льда в разных горно-ледниковых системах, а также разделения ледников для такой оценки по преобладающим морфологическим типам. Последний вывод согласуется с полученным ранее данными для Джунгарского Алатау [13], хотя тогда использовались менее точные оценки объёма ледников методом эллипсов по данным аэрорадиозондирования вдоль их продольной оси. Это ещё раз указывает на целесообразность оценки запасов льда в крупных горно-ледниковых системах с использованием соотношений вида (29), полученных для конкретного района горного оледенения.
Зависимость точности оценки запасов льда в горно-ледниковой системе от количества и площади исследуемых ледников. Приведенные на рис. 1 данные по объёму 121 ледника Алтая использованы также для оценки количества ледников, которое могло бы обеспечить приемлемую точность определения общих запасов льда в горно-ледниковой системе. Для этого применялся статистический метод выборки. Описанная далее процедура выполнялась отдельно для каждого типа ледников (каровых, карово-долинных, долинных) и для всех ледников вместе. Для каждого целого значения n от 3 до Nt, равного общему числу ледников типа t, случайным образом выбирались n ледников. На основе известных данных о площади S и объёме V этих ледников определялась эмпирическая функциональная зависимость V = f(S) объёма V от площади S вида (29). Коэффициенты k и p вычислялись методом нелинейной регрессии [1]. По данной зависимости вычислялась ошибка оценки суммарного объёма ледников в заданной выборке (для данного типа ледников t) как разность D между суммарным объёмом (данные измерений) и суммой оценок объёма ледников по полученной функциональной зависимости (29) в процентах от суммарного объёма:
Δ = ((Vest – Σi=1Nt Vi)/ Σi=1Nt Vi )*100%,                                                              (32)
где Vest – оценка объёма; Vi – измеренный объём i-го ледника.
Чтобы получить статистические оценки для среднего и разброса параметра D, использовался метод бутстреппинга [40]. Описанная процедура повторялась 1000 раз. Из 1000 результатов на каждом шаге были получены следующие статистические оценки: smean, s5, s95, соответствующиесреднему, 5-й и 95-й процентиле в данной выборке соответственно. Эти результаты представлены на рис. 6. В основе этих вычислений лежит предположение, что вся выборка, состоящая из 121 ледника, представляет собой генеральную совокупность, т.е. она описывает оледенение Алтая в целом. Мы допускаем это предположение, так как указанная выборка – один из самых обширных массивов прямых измерений площади и объёма ледников в отдельно взятом регионе, но мы не распространяем полученные результаты на другие горные системы. Ставилась и другая задача: проверить, можно ли уменьшить ошибку расчёта объёма оледенения, если выбирать модельные ледники для построения зависимости (29) не случайным образом, а с учётом площади ледников.
 
a)
б)
в)
г)
Рис. 6. Среднее (жирная линия) и разброс (5-я и 95-я процентили, тонкие линии) ошибки D оценки объёма ледников Алтая долинного (а), карово-долинного (б), карового типа (в) и всех ледников Алтая (г) по степенной зависимости (формула 22), полученной для разного числа N ледников в выборке.
Красным цветом показаны результаты вычислений при случайном выборе ледников; чёрным пунктиром – при разбиении ледников на группы по размерам
 
 
Отличие от основного алгоритма состоит в том, что каждый раз выбирается n из Nt ледников типа t  не случайным образом, а с дополнительными условиями: все ледники по площади разделены на восемь групп (0–0,4; 0,4–0,6; 0,6–1; 1–2; 2–3; 3–4; 4–6; 6–8; > 8 км2), и заполнение этих групп в выборке должно идти равномерно. Если количество ледников в какой-то группе не достаточно для конкретной выборки, то выбираются ледники из других групп. Таким образом мы формируем случайную выборку, но равномерно распределённую по указанным группам (насколько это позволяют исходные данные). Анализ полученных результатов показал, что, несмотря на наши ожидания, применение такого подхода не сильно повлияло на ошибку оценки суммарного объёма ледников (см. рис. 6). Разброс оценок объёма в результате разделения ледников на группы по размерам по сравнению со случайной выборкой заметно снижается лишь в том случае, когда число ледников превышает 25–30. При этом для всей совокупности ледников подобная процедура привела также к заниженным оценкам суммарного объёма, что, вероятно, связано с небольшим числом ледников площадью > 8 км2 в генеральной совокупности.
На рис. 6 видно, что при построении региональной зависимости уже по 5–10 ледникам, ошибка оценки объёма всего оледенения в среднем не превышает 5–10%. При построении зависимости по 10–15 ледникам с вероятностью 90% ошибка находится в пределах ±20%, а для карово-долинных ледников – даже в пределах ±10%. Вообще, именно для карово-долинных ледников формула (29) даёт наилучшие результаты. Согласно рис. 6, оценка по формуле (29) завышает объёмы каровых и карово-долинных ледников, но занижает объёмы долинных ледников и всего оледенения. При этом результаты для отдельных морфологических типов ледников лучше, чем для всех ледников вместе, что подтверждает необходимость такого разделения. На это же указывает и ошибка оценки объёма оледенения по максимальному числу ледников каждого типа: для отдельных морфологических типов она не превышает 1%, а для всех ледников достигает 2,8%. При этом следует иметь в виду, что применение формулы (29) для оценки объёма отдельных ледников может давать большие ошибки (более 80%), поэтому использование её оправдано только для оценки запасов льда в крупных ледниковых системах.
 
Выводы
1. Статистические оценки, полученные на примере ледников Алтая, показали, что для более достоверной оценки запасов льда в горно-ледниковой системе целесообразно использовать не «глобальную» зависимость между объёмом и площадью ледников, а региональную, учитывающую также морфологический тип ледников.
2. Для получения достаточно достоверной зависимости между объёмом и площадью ледников и, следовательно, более точной оценки запасов (суммарного объёма) льда в исследуемой горно-ледниковой системе можно ограничиться получением данных об их объёме на приемлемом для практических целей числе ледников преобладающих морфологических типов и размеров в данном районе горного оледенения (для Алтая 10–15). При этом ошибка оценки по 10–15 ледникам составляет менее 20%. Это намного меньше, чем при использовании «глобальной» зависимости (р = 1,357) или зависимостей, полученных для других регионов, например, для Альп (р = 1,52).
3. Приведённые на примере ледников Марух и Марушонок на Северном Кавказе оценки объёма этих ледников по картам толщины льда и данным измерений толщины льда только вдоль центральной оси показали, что для ледников вытянутой и изометрической форм методы парабол и Topo to Raster дают приемлемую точность. Для ледника Марух различие измеренных и вычисленных этими методами объёмов не превышает 33 и 1% соответственно, для ледника Марушонок – 8 и 21%. Метод эллипсов даёт бóльшие различия − 52% для ледника Марух и 35% для ледника Марушонок. Сравнительно большая ошибка оценки объёма ледника Марух методом парабол, вероятно, объясняется сложной топографией подлёдного ложа этого ледника и большой толщиной льда (до 330 м) в области питания при незначительной ширине ледника (около 1 км). В таких случаях предпочтение может быть отдано методу Topo to Raster.
Полученные в данной работе выводы могут быть использованы при выборе ледников для измерений толщины его льда и объёма, а также для оценки запасов льда в крупной горно-ледниковой системы.
 
Благодарности. Авторы благодарят С.А. Никитина за предоставленные данные по площади и объёму ледников Алтая.
 
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для поддержки молодых российских учёных – кандидатов наук МК–875.2011.5 и гранта РФФИ № 11-05-00728-а.
 
Литература
1.      Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. 488 с.
2.      Ерасов Н.В. Метод определения объема горных ледников // МГИ. 1968. Вып. 14. С. 307–308.
3.      Журавлев А.Б. Определение объема горных ледников по данным радиозондирования с вертолета // МГИ. 1980. Вып. 37. С. 140–148.
4.      Журавлев А.Б. О зависимости между площадью и объемом ледников // МГИ. 1981. Вып. 40. С. 262–265.
5.      Журавлев А.Б. Корреляционный метод оценки запасов льда в ледниках // МГИ. 1985. Вып. 52. С. 241–249.
6.      Кренке А.Н. Массообмен в ледниковых системах на территории СССР. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 288 с.
7.      Кутузов С.С., Лаврентьев И.И., Мачерет Ю.Я., Петраков Д.А.Изменения ледника Марух с 1945 по 2011 гг. // Лед и Снег. 2012. № 1 (117). С. 123–127.
8.      Лихачева Л.И., Глазырин Г.Е., Щетинников А.С. Расчет суммарного объема групп горных ледников (в защиту нашей формулы) // МГИ. 1981. Вып. 40. С. 256–262.
9.      Мазо А.Б. Глазырин Г.Е. Метод расчета объема стационарного горного ледника // Тр. САНИИ. 1986. Вып. 117 (198). С. 88–98.
10. Мачерет Ю.Я. Сейсмический метод в гляциологии: Итоги науки и техники. Гляциология. Т. 1. М.: изд. ВИНИТИ, 1977. C. 41–86.
11. Мачерет Ю.Я. Радиозондирование ледников. М.: Научный мир, 2006. 389 с.
12. Мачерет Ю.Я., Журавлев А.Б., Боброва Л.И. Толщина, подледный рельеф и объём ледников Шпицбергена по данным радиолокационного зондирования // МГИ. 1984. Вып. 51. С. 59–62.
13. Мачерет Ю.Я., Черкасов П.А., Боброва Л.И. Толщина и объем ледников Джунгарского Алатау по данным аэрорадиозондирования // МГИ. 1988. Вып. 62. С. 59–71.
14. Никитин С.А. Закономерности распределения ледниковых ресурсов в Русском Алтае // МГИ. 2009. Вып. 107. С. 87–96.
15. Никитин С.А., Веснин А.В., Осипов А.В., Игловская Н.В. Результаты радиофизических исследований ледников Северо-Чуйского хребта на Алтае // МГИ. 1999. Вып. 87. С. 188–195.
16. Никитин С.А., Веснин А.В., Осипов А.В., Игловская Н.В. Результаты радиозондирования ледников Центрального Алтая (Северо-Чуйский и Южно-Чуйский хребты) // МГИ. 2000. Вып. 88. С. 145–148.
17. Никитин С.А., Веснин А.В., Осипов А.В., Игловская Н.В. Распределение запасов льда в Северо-Чуйском хребте Центрального Алтая по данным радиозондирования // МГИ. 2001. Вып. 90. С. 107–111.
18. Черкасов П.А., Никитин С.А. К методике расчета объема горных ледников по данным наземной и воздушной радиолокационной съемки // Ледники, снежный покров и лавины в горах Казахстана. Алма-Ата, 1999. С. 18–36.
19. Bahr D.B., Dyurgerov M.B. Characteristic mass-balance scaling with valley glacier size // Journ. of Glaciology. 1999. V. 45. № 149. P. 17–21.
20. Bahr D.B., Meier M.F., Peckham S.D. The physical basis volume–area scaling // Journ. Geophys. Research. 1997.V.102 (B9). P. 20355–20362.
21. Brückl E. Eine Methode zur Volumenbestimung von Gletschern auf Grand der Plastizitatstheorie // Archiv fiir Meteorologie. Geophysik und Bioklimatologie. 1970. Ser. A. 19. P. 317–328.
22. Chen J., Ohmura A. Estimation of Alpine glacier water resources and their change since the 1870s // IAHS Publ. 1990. № 193. P. 125–135.
23. Dyurgerov M.B. Meier M.F. Glaciers and the Changing Earth System: A 2004 Snapshot. Institute of Arctic and Alpine Research, Occasional Paper № 58. Boulder: University of Colorado, 2005. 117 p.
24. Farinotti D., Huss M., Bauder A., Funk M. A method to estimate the ice volume and ice–thickness distribution of alpine glaciers // Journ. of Glaciology. 2009. V. 55. № 191. P. 422–430.
25. Fischer A. Calculation of glacier volume from sparse ice-thickness data, applied to Schaufelferner, Austria // Journ. of Glaciology. 2009. V. 55. № 191. P. 453–460.
26. Fischer A., Abermann J., Kuhn M. On the accuracy of estimating the potential sea level rise by scaling the area of mountain glaciers // Geophys. Research Abstracts. 2012. V. 14. P. 6524.
27. Hutchinson M.F. A new procedure for gridding elevation and stream line data with automatic removal of spurious pits // Journ. of Hydrology 1989. № 106. P. 211–232.
28. Jacob T., Wahr J., Pfeffer W.T., Swenson S. Recent contributions of glaciers and ice caps to sea level rise // Nature. 2012. V. 482. P. 514.
29. Lambrecht A., Kuhn M. Glacier changes in the Austian Alps during the last three decades, derived from the new Austrian glacier inventory // Annals of Glaciology. 2007. V. 46. P. 177–184.
30. Lecklercq P.W., Oerlemans J., Gogley J.G. Estimating the glacier contribution to sea-level rise // Surv. Geophys. 2011. V. 32. P. 519–535.
31. Meier M.F., Bahr D.B. Counting glaciers: use of scaling methods to estimate the number and size distribution of the glaciers of the world. Ice sheets and volcanoes: a tributary to Mark F. Meier. CREEL Special Report 96–27, 1996. P. 89–94.
32. Meier M.F. Dyurgerov M.B., Rick U.K., O’Neel S., Pfeffer W.T., Anderson R.S., Anderson S.P., Glazovsky A.F. Glaciers dominate eustatic sealevel rise in the 21st century // Science. 2007. V. 317 (5841). P. 1064–1067.
33. Möller M., Schneider C. Calibration of glacier–volume–area relations from surface extent fluctuations and application to future glacier change // Journ. of Glaciology. 2010. V. 56. № 195, P. 33–40.
34. Paul F., Linsbauer A. Modeling of glaсier bed topography from glacier outlines, central branch lines and a DEM // Intern. Journ. of Geographical Inform. Science. http://dx.doi.org/10.1080/13658816.2011.627859.2012
35. Radiĉ V., Hock R., Oerlemans J. Analysis of scaling methods in deriving future volume evolutions of valley glaciers // Journ. of Glaciology. 2008. V. 54. № 187. P. 601–611.
36. Sverisson H. Is the cross–section of a glacial valley a parabola? // Journ. of Glaciology. 1959 V. 3. P. 362–363.
37. Trabant D.C., Hawkins D.B. Glacier Ice-volume modeling and glacier volumes on Redoubt volcano, Alaska. U.S. Geological Survey. Water-Resources Investigations Report 97-4187 Fairbanks, Alaska,1997.
38. Van de Wal R.S.M., Wild M. Modelling response of glaciers to climate change by applying volume–area scaling in combitation with a high resolution CSM // Climate Dynamics. 2001. V. 18. № 3–4. P. 369–366.
39. WGMS and NSIDC World glacier inventory. Compiled and made available by the World Glacier Monitoring Service, Zurich, Switzerland, and the National Snow and Ice Data Center, Boulder CO, USA. Digital media. 1989, updated 2012. http://nsidc.org/data/glacier_inventory/
40. Wu C.F.J. Jackknife, bootstrap and other resampling methods in regression analysis (with discussions) // Annals of Statistics. 1986. V. 14. P. 1261–1350(with discussions) // Annals of Statistics. 1986. V. 14. P. 1261–1350.
 

← back